Muavr düsturu
Muavr düsturu — kompleks ədədlər üçün ifadə olunan
z
=
r
(
cos
φ
+
i
sin
φ
)
{\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )\ }
düsturu, iddia edir ki, ixtiyari
n
∈
Z
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }
üçün olduqda Muavr düsturu aşağıdakı kimi olur:
z
n
=
r
n
(
cos
n
φ
+
i
sin
n
φ
)
{\displaystyle z^{n}=r^{n}(\cos n\varphi +i\sin n\varphi )\ }
.
== İsbatı ==
Muavr düsturunu Eyler düsturu ilə
e
i
φ
=
cos
φ
+
i
sin
φ
{\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi \ }
ifadə edib və qüvvət əməllərini
(
e
a
)
b
=
e
a
b
{\displaystyle (e^{a})^{b}=e^{ab}\!}
yerini yetirib isbat etmək olar. Burada b — tam ədəddir.
== Tətbiqi ==
Analoji düstur həmçinin kompleks ədədlərin sıfırdan fərqli n-ci köklərinin tapılmasında istifadə olunur:
z
1
/
n
=
[
r
(
cos
(
φ
+
2
π
k
)
+
i
sin
(
φ
+
2
π
k
)
)
]
1
/
n
=
r
1
/
n
(
cos
φ
+
2
π
k
n
+
i
sin
φ
+
2
π
k
n
)
,
{\displaystyle z^{1/n}=[r(\cos(\varphi +2\pi k)+i\sin(\varphi +2\pi k))]^{1/n}=r^{1/n}\left(\cos {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}\right),}
k = 0, 1, …, n—1 olduqda.
== Tarix ==
Bu düstur ilk dəfə XVIII əsrdə yaşamış fransız riyaziyyatçısı Abraham de Muavr tərəfindən kəşf edilmişdir və onun şərəfinə adlandırılmışdır.